Решение интеграла ∫(x² + 2x - 10) dx

Задание: Найти неопределенный интеграл \( \int (x^2 + 2x - 10) dx \). Решение: Для решения воспользуемся свойствами линейности интеграла (интеграл суммы равен сумме интегралов) и табличной формулой для степенной функции \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \). 1. Разложим интеграл на сумму трех интегралов: \[ \int (x^2 + 2x - 10) dx = \int x^2 dx + \int 2x dx - \int 10 dx \] 2. Вычислим каждый интеграл по отдельности: - Для первого слагаемого: \( \int x^2 dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{x^3}{3} \) - Для второго слагаемого: \( \int 2x dx = 2 \int x^1 dx = 2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = 2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2 \) - Для третьего слагаемого: \( \int 10 dx = 10x \) 3. Соберем все части вместе и добавим произвольную постоянную \( C \): \[ \frac{x^3}{3} + x^2 - 10x + C \] Сравним полученный результат с предложенными вариантами ответов: 1. \( \frac{x^3}{3} + 2x^2 - 10x + C \) (неверно) 2. \( \frac{x^3}{3} - x^2 - 10x + C \) (неверно) 3. \( x^3 + 2 - 10x + C \) (неверно) 4. \( \frac{x^3}{3} + x^2 - 10x + C \) (верно) Ответ: \( \frac{x^3}{3} + x^2 - 10x + C \) (четвертый вариант).