Решение уравнения y' + (3/x)y = 6x^2

Для решения данного линейного дифференциального уравнения первого рода вида \( y' + P(x)y = Q(x) \) воспользуемся методом интегрирующего множителя. Дано уравнение: \[ y' + \frac{3}{x}y = 6x^2 \] 1. Найдем интегрирующий множитель \( \mu(x) \): \[ \mu(x) = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{3}{x} dx} = e^{3 \ln x} = e^{\ln x^3} = x^3 \] 2. Умножим обе части исходного уравнения на \( x^3 \): \[ x^3 y' + 3x^2 y = 6x^5 \] 3. Заметим, что левая часть уравнения представляет собой производную произведения \( (x^3 y)' \): \[ (x^3 y)' = 6x^5 \] 4. Проинтегрируем обе части уравнения по \( x \): \[ \int (x^3 y)' dx = \int 6x^5 dx \] \[ x^3 y = 6 \cdot \frac{x^6}{6} + C \] \[ x^3 y = x^6 + C \] 5. Выразим \( y \), разделив обе части на \( x^3 \): \[ y = \frac{x^6}{x^3} + \frac{C}{x^3} \] \[ y = x^3 + Cx^{-3} \] Сравним полученный результат с предложенными вариантами ответов. Полученное выражение соответствует варианту №1. Ответ: 1) \( y = x^3 + Cx^{-3} \)