Найти площадь области D: решение задачи

Задание: Найти площадь области \(D\), ограниченной линиями \(xy = 4\), \(y = x\), \(x = 4\). Решение: 1. Определим границы интегрирования. Область ограничена тремя линиями: - Гипербола: \(y = \frac{4}{x}\) - Прямая: \(y = x\) - Вертикальная прямая: \(x = 4\) 2. Найдем точку пересечения гиперболы \(y = \frac{4}{x}\) и прямой \(y = x\): \[x = \frac{4}{x} \implies x^2 = 4 \implies x = 2\] (берем \(x = 2\), так как область находится в первой четверти, где \(x=4\)). 3. Таким образом, область \(D\) находится в интервале от \(x = 2\) до \(x = 4\). На этом интервале прямая \(y = x\) лежит выше гиперболы \(y = \frac{4}{x}\) (например, при \(x=3\): \(3 > \frac{4}{3}\)). 4. Площадь \(S\) вычисляется с помощью определенного интеграла: \[S = \int_{2}^{4} (x - \frac{4}{x}) dx\] 5. Вычислим интеграл: \[S = \left[ \frac{x^2}{2} - 4\ln|x| \right]_{2}^{4}\] 6. Подставим верхний и нижний пределы: \[S = \left( \frac{4^2}{2} - 4\ln 4 \right) - \left( \frac{2^2}{2} - 4\ln 2 \right)\] \[S = (8 - 4\ln 4) - (2 - 4\ln 2)\] \[S = 8 - 2 - 4\ln(2^2) + 4\ln 2\] \[S = 6 - 8\ln 2 + 4\ln 2\] \[S = 6 - 4\ln 2\] Полученный результат можно записать как \(-4\ln 2 + 6\). 7. Сравним с вариантами ответов: 1. \(-4\ln 2 + 6\) — совпадает с нашим результатом. 2. \(6\) 3. \(4\ln 2 - 6\) 4. \(-\ln 2 + 6\) Ответ: 1. \(-4\ln 2 + 6\)