Решение системы линейных дифференциальных уравнений

Для нахождения общего решения системы линейных дифференциальных уравнений: \[ \begin{cases} x_1' = 4x_1 + 2x_2 \\ x_2' = -4x_1 - 5x_2 \end{cases} \] необходимо найти собственные значения и собственные векторы матрицы системы. 1. Составим матрицу системы: \[ A = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ -4 & -5 \end{pmatrix} \] 2. Найдем собственные значения \( \lambda \), решив характеристическое уравнение \( \det(A - \lambda E) = 0 \): \[ \begin{vmatrix} 4 - \lambda & 2 \\ -4 & -5 - \lambda \end{vmatrix} = 0 \] \[ (4 - \lambda)(-5 - \lambda) - (2 \cdot (-4)) = 0 \] \[ -20 - 4\lambda + 5\lambda + \lambda^2 + 8 = 0 \] \[ \lambda^2 + \lambda - 12 = 0 \] По теореме Виета: \[ \lambda_1 = -4, \quad \lambda_2 = 3 \] 3. Найдем собственный вектор для \( \lambda_1 = -4 \): \[ \begin{pmatrix} 4 - (-4) & 2 \\ -4 & -5 - (-4) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} 8 & 2 \\ -4 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \] Из уравнения \( 8v_1 + 2v_2 = 0 \) следует \( v_2 = -4v_1 \). При \( v_1 = 1 \), собственный вектор \( \vec{v}^{(1)} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \end{pmatrix} \). 4. Найдем собственный вектор для \( \lambda_2 = 3 \): \[ \begin{pmatrix} 4 - 3 & 2 \\ -4 & -5 - 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -4 & -8 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \] Из уравнения \( v_1 + 2v_2 = 0 \) следует \( v_1 = -2v_2 \). При \( v_2 = 1 \), собственный вектор \( \vec{v}^{(2)} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} \). 5. Общее решение записывается в виде: \[ \vec{x} = C_1 \vec{v}^{(1)} e^{\lambda_1 t} + C_2 \vec{v}^{(2)} e^{\lambda_2 t} \] \[ \vec{x} = C_1 \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \end{pmatrix} e^{-4t} + C_2 \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} e^{3t} \] Сравнивая с вариантами на картинке, это соответствует варианту под номером 2. Ответ: 2.