Решение повторного интеграла ∫dx∫(y/x)dy

Задание: Вычислить значение повторного интеграла \[ \int_{1}^{e} dx \int_{4}^{6} \frac{y}{x} dy \] Решение: Для решения повторного интеграла сначала вычислим внутренний интеграл по переменной \( y \), считая \( x \) константой, а затем результат проинтегрируем по \( x \). 1. Вычислим внутренний интеграл: \[ \int_{4}^{6} \frac{y}{x} dy = \frac{1}{x} \int_{4}^{6} y dy \] Применяем формулу Ньютона-Лейбница: \[ \frac{1}{x} \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{4}^{6} = \frac{1}{x} \left( \frac{6^2}{2} - \frac{4^2}{2} \right) = \frac{1}{x} \left( \frac{36}{2} - \frac{16}{2} \right) = \frac{1}{x} (18 - 8) = \frac{10}{x} \] 2. Теперь подставим полученный результат во внешний интеграл по \( x \): \[ \int_{1}^{e} \frac{10}{x} dx = 10 \int_{1}^{e} \frac{1}{x} dx \] Интеграл от \( \frac{1}{x} \) равен \( \ln|x| \): \[ 10 \cdot \left[ \ln|x| \right]_{1}^{e} = 10 \cdot (\ln e - \ln 1) \] 3. Так как \( \ln e = 1 \), а \( \ln 1 = 0 \), получаем: \[ 10 \cdot (1 - 0) = 10 \] Сравним результат с предложенными вариантами: 1. 10 2. 5 3. 12 4. 1 Правильный ответ находится под номером 1. Ответ: 10.