Решение определенного интеграла ∫(3 - 2x - x^2) dx

Задание: Вычислить определенный интеграл \(\int_{-2}^{1} (3 - 2x - x^2) dx\). Решение: Для вычисления определенного интеграла воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: \[\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)\] где \(F(x)\) — первообразная для функции \(f(x)\). 1. Найдем первообразную функции \(f(x) = 3 - 2x - x^2\): \[F(x) = 3x - 2 \cdot \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} = 3x - x^2 - \frac{x^3}{3}\] 2. Применим формулу Ньютона-Лейбница с пределами от \(-2\) до \(1\): \[\int_{-2}^{1} (3 - 2x - x^2) dx = \left[ 3x - x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{1}\] 3. Подставим верхний предел (\(x = 1\)): \[F(1) = 3(1) - (1)^2 - \frac{(1)^3}{3} = 3 - 1 - \frac{1}{3} = 2 - \frac{1}{3} = \frac{5}{3}\] 4. Подставим нижний предел (\(x = -2\)): \[F(-2) = 3(-2) - (-2)^2 - \frac{(-2)^3}{3} = -6 - 4 - \frac{-8}{3} = -10 + \frac{8}{3} = -\frac{30}{3} + \frac{8}{3} = -\frac{22}{3}\] 5. Вычислим разность: \[F(1) - F(-2) = \frac{5}{3} - \left( -\frac{22}{3} \right) = \frac{5}{3} + \frac{22}{3} = \frac{27}{3} = 9\] Сравним полученный результат с вариантами ответов: - 6 - 1 - 5 - 9 (верно) Ответ: 9