Решение определенного интеграла: примеры и объяснения

Задание: Установите соответствие между определенным интегралом и его значением. Решение: Вычислим каждый интеграл по формуле Ньютона-Лейбница: \( \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) \). A) \( \int_{1}^{2} (4x + 5) dx \) \[ \int_{1}^{2} (4x + 5) dx = [2x^2 + 5x]_1^2 = (2 \cdot 2^2 + 5 \cdot 2) - (2 \cdot 1^2 + 5 \cdot 1) = (8 + 10) - (2 + 5) = 18 - 7 = 11 \] (Примечание: В списке ответов есть число 21 и 9. Если в условии опечатка и интеграл от 1 до 2, то результат 11. Если интеграл \( \int_{-1}^{2} (4x+5)dx \), то \( (8+10) - (2-5) = 18 - (-3) = 21 \). Судя по списку, для A подходит значение 21, если нижний предел -1). B) \( \int_{-2}^{1} (3 - 2x - x^2) dx \) \[ [3x - x^2 - \frac{x^3}{3}]_{-2}^1 = (3 - 1 - \frac{1}{3}) - (-6 - 4 + \frac{8}{3}) = (2 - \frac{1}{3}) - (-10 + \frac{8}{3}) = \frac{5}{3} - (-\frac{22}{3}) = \frac{27}{3} = 9 \] Соответствует пункту 3 (значение 9). C) \( \int_{0}^{2} (x^3 - x^2) dx \) \[ [\frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3}]_0^2 = (\frac{16}{4} - \frac{8}{3}) - 0 = 4 - \frac{8}{3} = \frac{12-8}{3} = \frac{4}{3} \] Соответствует пункту 4 (значение 4/3). D) \( \int_{1}^{2} (3x^2 - 2x + 1) dx \) \[ [x^3 - x^2 + x]_1^2 = (8 - 4 + 2) - (1 - 1 + 1) = 6 - 1 = 5 \] Соответствует пункту 2 (значение 5). Итоговое соответствие: A — 1 (значение 21, при условии уточнения пределов) B — 3 (значение 9) C — 4 (значение 4/3) D — 2 (значение 5) Ответ: A-1, B-3, C-4, D-2.