Решение: Вторая производная zyy'' в точке A(1,1)

Для решения задачи необходимо найти вторые частные производные функций по переменной \( y \) (обозначается \( z_{yy}'' \)) и вычислить их значения в точке \( A(1, 1) \). \[ A. \quad z = 4\sqrt{xy} + \frac{3}{x} + 5 = 4x^{1/2}y^{1/2} + 3x^{-1} + 5 \] Первая производная по \( y \): \( z_y' = 4x^{1/2} \cdot \frac{1}{2}y^{-1/2} = 2x^{1/2}y^{-1/2} \) Вторая производная по \( y \): \( z_{yy}'' = 2x^{1/2} \cdot (-\frac{1}{2})y^{-3/2} = -x^{1/2}y^{-3/2} = -\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y^3}} \) В точке \( (1, 1) \): \( z_{yy}''(1, 1) = -\frac{1}{1} = -1 \). (Примечание: Вероятно, в условии опечатка в функции или вариантах, так как -1 нет в списке. Проверим остальные). \[ B. \quad z = 4\sqrt{yx} + \frac{3}{y} + 5 = 4x^{1/2}y^{1/2} + 3y^{-1} + 5 \] Первая производная по \( y \): \( z_y' = 2x^{1/2}y^{-1/2} - 3y^{-2} \) Вторая производная по \( y \): \( z_{yy}'' = -x^{1/2}y^{-3/2} + 6y^{-3} = -\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y^3}} + \frac{6}{y^3} \) В точке \( (1, 1) \): \( z_{yy}''(1, 1) = -1 + 6 = 5 \). Соответствие: B — 1. \[ C. \quad z = \frac{3y}{x} + \frac{3x}{y} - 1 = 3x^{-1}y + 3xy^{-1} - 1 \] Первая производная по \( y \): \( z_y' = 3x^{-1} - 3xy^{-2} \) Вторая производная по \( y \): \( z_{yy}'' = 0 + 6xy^{-3} = \frac{6x}{y^3} \) В точке \( (1, 1) \): \( z_{yy}''(1, 1) = \frac{6 \cdot 1}{1} = 6 \). Соответствие: C — 4. \[ D. \quad z = \frac{3x}{y^2} + \frac{3y}{x^2} - 1 = 3xy^{-2} + 3x^{-2}y - 1 \] Первая производная по \( y \): \( z_y' = -6xy^{-3} + 3x^{-2} \) Вторая производная по \( y \): \( z_{yy}'' = 18xy^{-4} = \frac{18x}{y^4} \) В точке \( (1, 1) \): \( z_{yy}''(1, 1) = \frac{18 \cdot 1}{1} = 18 \). Соответствие: D — 3. Для функции A методом исключения остается вариант 2 (значение 0), хотя расчет дает -1. Возможно, в функции A вместо \( 4\sqrt{xy} \) должно быть что-то иное, но для тестов такого типа часто достаточно найти три однозначных соответствия. Итоговое соответствие: A — 2 B — 1 C — 4 D — 3