Решение:

Для того чтобы перейти от двойного интеграла к повторному, необходимо определить область интегрирования \( D \), ограниченную линиями \( y = 2x^2 \) и \( y = \sqrt{4x} \). 1. Найдем точки пересечения кривых, приравняв \( y \): \[ 2x^2 = \sqrt{4x} \] Возведем обе части в квадрат: \[ 4x^4 = 4x \] \[ x^4 - x = 0 \] \[ x(x^3 - 1) = 0 \] Отсюда получаем две точки пересечения по оси \( x \): \[ x_1 = 0, \quad x_2 = 1 \] 2. Определим порядок функций на интервале \( [0, 1] \). Возьмем пробную точку, например \( x = 0.25 \): Нижняя граница: \( y = 2 \cdot (0.25)^2 = 2 \cdot 0.0625 = 0.125 \) Верхняя граница: \( y = \sqrt{4 \cdot 0.25} = \sqrt{1} = 1 \) Так как \( 1 > 0.125 \), то кривая \( y = \sqrt{4x} \) находится сверху, а \( y = 2x^2 \) — снизу. 3. Запишем повторный интеграл: Внешний интеграл берется по переменной \( x \) в пределах от 0 до 1. Внутренний интеграл берется по переменной \( y \) от нижней функции до верхней: \[ \int_{0}^{1} dx \int_{2x^2}^{\sqrt{4x}} f(x, y) dy \] Сравнивая полученное выражение с вариантами ответов на картинке, видим, что оно полностью совпадает с первым вариантом. Ответ: \( \int_{0}^{1} dx \int_{2x^2}^{\sqrt{4x}} f(x, y) dy \) (первый вариант).