Изменение порядка интегрирования в повторном интеграле

Задание: Изменить порядок интегрирования для повторного интеграла: \[ \int_{2}^{4} dx \int_{\frac{4}{x}}^{\frac{6-x}{2}} f(x,y) dy \] Решение: 1. Выпишем область интегрирования \(D\) на основе пределов данного интеграла: По переменной \(x\): \(2 \le x \le 4\) По переменной \(y\): \(\frac{4}{x} \le y \le \frac{6-x}{2}\) 2. Найдем границы области в виде функций \(x\) от \(y\): Нижняя граница: \(y = \frac{4}{x} \implies x = \frac{4}{y}\) Верхняя граница: \(y = \frac{6-x}{2} \implies 2y = 6 - x \implies x = 6 - 2y\) 3. Определим новые пределы интегрирования для переменной \(y\). Для этого найдем точки пересечения границ или значения \(y\) в граничных точках \(x\): При \(x = 2\): \(y = \frac{4}{2} = 2\) и \(y = \frac{6-2}{2} = 2\). При \(x = 4\): \(y = \frac{4}{4} = 1\) и \(y = \frac{6-4}{2} = 1\). Таким образом, переменная \(y\) изменяется в пределах от \(1\) до \(2\). 4. Запишем интеграл с измененным порядком (внешний по \(y\), внутренний по \(x\)): Нижний предел для \(x\) теперь соответствует функции \(x = \frac{4}{y}\), а верхний — функции \(x = 6 - 2y\). Итоговое выражение: \[ \int_{1}^{2} dy \int_{\frac{4}{y}}^{6-2y} f(x,y) dx \] Ответ: Первый вариант в списке.