Нахождение дисперсии D(X) по функции распределения

Задание: Непрерывная случайная величина \(X\) задана функцией распределения \(F(x)\). Найти дисперсию \(D(X)\). \[ F(x) = \begin{cases} 0, & x \le -2 \\ 0,2(x + 2), & -2 < x \le 3 \\ 1, & x > 3 \end{cases} \] Решение: 1. Сначала найдем плотность распределения \(f(x)\), которая является производной от функции распределения \(F(x)\): \[ f(x) = F'(x) = (0,2(x + 2))' = 0,2 \] на интервале \((-2, 3]\). Вне этого интервала \(f(x) = 0\). Это означает, что случайная величина \(X\) распределена равномерно на отрезке \([a, b]\), где \(a = -2\), \(b = 3\). 2. Для равномерного распределения существуют готовые формулы для математического ожидания и дисперсии. Дисперсия \(D(X)\) вычисляется по формуле: \[ D(X) = \frac{(b - a)^2}{12} \] 3. Подставим значения \(a = -2\) и \(b = 3\) в формулу: \[ D(X) = \frac{(3 - (-2))^2}{12} = \frac{(3 + 2)^2}{12} = \frac{5^2}{12} = \frac{25}{12} \] Сравним полученный результат с вариантами ответов: 1. \(5/12\) 2. \(12/25\) 3. \(25/12\) 4. \(12/5\) Правильный ответ соответствует варианту 3. Ответ: \(25/12\) (вариант 3).