Исследование сходимости ряда ∑ ln(n)/n

Задание: Исследуйте на сходимость ряд \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln(n)}{n}\). Решение: Для исследования данного числового ряда с положительными членами воспользуемся признаком сравнения. 1. Рассмотрим общий член ряда: \[a_n = \frac{\ln(n)}{n}\] 2. Известно, что для всех \(n \ge 3\) выполняется неравенство \(\ln(n) > 1\). 3. Сравним наш ряд с гармоническим рядом \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\), про который известно, что он расходится. 4. Так как при \(n \ge 3\) справедливо неравенство: \[\frac{\ln(n)}{n} > \frac{1}{n}\] а ряд \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\) расходится, то по признаку сравнения исходный ряд также расходится. 5. Также можно воспользоваться интегральным признаком Коши. Рассмотрим функцию \(f(x) = \frac{\ln(x)}{x}\) и вычислим несобственный интеграл: \[\int_{1}^{\infty} \frac{\ln(x)}{x} dx = \int_{1}^{\infty} \ln(x) d(\ln(x)) = \left[ \frac{\ln^2(x)}{2} \right]_{1}^{\infty} = \infty\] Так как интеграл расходится, то и ряд расходится. Ответ: расходится.