Решение интеграла ∫(3x³+5x+1)dx

Задание: Найти неопределенный интеграл \(\int (3x^3 + 5x + 1) dx\). Решение: Для решения воспользуемся свойствами линейности интеграла и табличной формулой для степенной функции: \[ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \] Разложим интеграл на сумму трех интегралов: \[ \int (3x^3 + 5x + 1) dx = \int 3x^3 dx + \int 5x dx + \int 1 dx \] Вынесем константы за знак интеграла: \[ 3 \int x^3 dx + 5 \int x dx + \int dx \] Применим формулу интегрирования к каждому слагаемому: 1) Для \(3x^3\): \[ 3 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} = 3 \cdot \frac{x^4}{4} = \frac{3x^4}{4} \] 2) Для \(5x\): \[ 5 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = 5 \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{5x^2}{2} \] 3) Для \(1\): \[ \int 1 dx = x \] Сложим полученные результаты и добавим произвольную постоянную \(C\): \[ \frac{3x^4}{4} + \frac{5x^2}{2} + x + C \] Ответ: Правильным является четвертый вариант ответа: \[ \frac{3x^4}{4} + \frac{5x^2}{2} + x + C \]