Изменение порядка интегрирования в двойном интеграле: Решение

Задание: Изменить порядок интегрирования для повторного интеграла: \[ \int_{2}^{4} dx \int_{\frac{4}{x}}^{\frac{6-x}{2}} f(x,y) dy \] Решение: 1. Выпишем область интегрирования \( D \) на основе пределов данного интеграла: \[ 2 \le x \le 4 \] \[ \frac{4}{x} \le y \le \frac{6-x}{2} \] 2. Определим границы области: Левая граница: \( x = 2 \). Правая граница: \( x = 4 \). Нижняя граница: \( y = \frac{4}{x} \). Верхняя граница: \( y = \frac{6-x}{2} \). 3. Найдем координаты характерных точек (вершин области): При \( x = 2 \): \( y = \frac{4}{2} = 2 \) и \( y = \frac{6-2}{2} = 2 \). Точка (2; 2). При \( x = 4 \): \( y = \frac{4}{4} = 1 \) и \( y = \frac{6-4}{2} = 1 \). Точка (4; 1). 4. Чтобы изменить порядок интегрирования, выразим \( x \) через \( y \): Из уравнения \( y = \frac{4}{x} \) получаем \( x = \frac{4}{y} \). Из уравнения \( y = \frac{6-x}{2} \) получаем \( 2y = 6 - x \), откуда \( x = 6 - 2y \). 5. Определим новые пределы интегрирования по \( y \): Из графика и вычислений видно, что переменная \( y \) изменяется в диапазоне от 1 до 2: \[ 1 \le y \le 2 \] Для каждого фиксированного \( y \) из этого промежутка переменная \( x \) меняется от левой кривой до правой. В данном случае левой границей является гипербола \( x = \frac{4}{y} \), а правой — прямая \( x = 6 - 2y \). \[ \frac{4}{y} \le x \le 6 - 2y \] 6. Запишем повторный интеграл с измененным порядком: \[ \int_{1}^{2} dy \int_{\frac{4}{y}}^{6-2y} f(x,y) dx \] Ответ: Первый вариант из предложенного списка. \[ \int_{1}^{2} dy \int_{\frac{4}{y}}^{6-2y} f(x,y) dx \]