Вычисление суммы ряда Σ(1/2^n) от n=1 до ∞

Задание: Вычислите сумму ряда \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} \] Решение: Данный ряд представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Запишем первые несколько членов ряда: \[ \frac{1}{2^1} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \dots = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots \] 1. Определим первый член прогрессии \( b_1 \): \[ b_1 = \frac{1}{2^1} = \frac{1}{2} \] 2. Определим знаменатель прогрессии \( q \): \[ q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1/4}{1/2} = \frac{1}{2} \] Так как \( |q| < 1 \), ряд сходится. 3. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле: \[ S = \frac{b_1}{1 - q} \] 4. Подставим значения в формулу: \[ S = \frac{1/2}{1 - 1/2} = \frac{1/2}{1/2} = 1 \] Ответ: 1.