Решение: Найти Значения Функции y = x(x - 1)^3 в Точках Перегиба

Задание: Найти значения функции \( y = x(x - 1)^3 \) в точках перегиба. Решение: 1. Для поиска точек перегиба необходимо найти вторую производную функции и приравнять её к нулю. Сначала найдем первую производную \( y' \), используя правило производной произведения \( (uv)' = u'v + uv' \): \[ y' = (x)' \cdot (x - 1)^3 + x \cdot ((x - 1)^3)' \] \[ y' = 1 \cdot (x - 1)^3 + x \cdot 3(x - 1)^2 \cdot 1 \] Вынесем общий множитель \( (x - 1)^2 \) за скобки: \[ y' = (x - 1)^2 \cdot (x - 1 + 3x) = (x - 1)^2 \cdot (4x - 1) \] 2. Теперь найдем вторую производную \( y'' \), также используя правило произведения: \[ y'' = ((x - 1)^2)' \cdot (4x - 1) + (x - 1)^2 \cdot (4x - 1)' \] \[ y'' = 2(x - 1) \cdot 1 \cdot (4x - 1) + (x - 1)^2 \cdot 4 \] Вынесем \( 2(x - 1) \) за скобки: \[ y'' = 2(x - 1) \cdot (4x - 1 + 2(x - 1)) \] \[ y'' = 2(x - 1) \cdot (4x - 1 + 2x - 2) \] \[ y'' = 2(x - 1) \cdot (6x - 3) \] Вынесем 3 из второй скобки: \[ y'' = 6(x - 1)(2x - 1) \] 3. Приравняем вторую производную к нулю для поиска критических точек второго рода: \[ 6(x - 1)(2x - 1) = 0 \] Отсюда получаем две точки: \[ x_1 = 1 \] \[ x_2 = \frac{1}{2} \] В этих точках вторая производная меняет знак, следовательно, это абсциссы точек перегиба. 4. Вычислим значения функции \( y \) в этих точках: Для \( x_1 = 1 \): \[ y(1) = 1 \cdot (1 - 1)^3 = 1 \cdot 0 = 0 \] Для \( x_2 = \frac{1}{2} \): \[ y\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{2} - 1\right)^3 = \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{8}\right) = -\frac{1}{16} \] Таким образом, значения функции в точках перегиба равны 0 и \( -1/16 \). Ответ: \( 0; -1/16 \) (второй вариант в списке).