Решение: Какие формулы интегрирования неверны?

В данном задании требуется определить, какие из предложенных формул интегрирования являются неверными. Давайте разберем каждую формулу по порядку, используя правила нахождения первообразных. 1. Первая формула: \[ \int e^{kx} dx = ke^{kx} + C \] Это неверно. При интегрировании показательной функции с коэффициентом \( k \) перед аргументом, этот коэффициент должен идти в знаменатель. Правильная формула: \[ \int e^{kx} dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C \] 2. Вторая формула: \[ \int a^x dx = a^x \ln a + C \] Это неверно. Выражение \( a^x \ln a \) является производной функции \( a^x \). При интегрировании натуральный логарифм основания должен быть в знаменателе. Правильная формула: \[ \int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \] 3. Третья формула: \[ \int \sin kx dx = k \cos kx + C \] Это неверно. Во-первых, интеграл от синуса — это минус косинус. Во-вторых, коэффициент \( k \) должен идти в знаменатель. Правильная формула: \[ \int \sin kx dx = -\frac{1}{k} \cos kx + C \] 4. Четвертая формула: \[ \int \frac{dx}{\sin^2 x} = \text{ctg} x + C \] Это неверно. Производная котангенса равна \( -\frac{1}{\sin^2 x} \), поэтому перед результатом должен стоять знак "минус". Правильная формула: \[ \int \frac{dx}{\sin^2 x} = -\text{ctg} x + C \] Вывод: В данном тесте все представленные формулы являются неверными. Если в интерфейсе теста можно выбрать несколько вариантов, следует отметить все. Если же вопрос подразумевает выбор одной, наиболее "очевидной" ошибки, стоит перепроверить условие, но математически ошибочны все четыре записи.