Решение задачи на предел отношения членов последовательности

Для решения этой задачи необходимо найти отношение последующего члена последовательности к предыдущему и вычислить предел этого отношения. Дано: \[ a_n = \frac{3^{2n+1}}{2^{3n-1}} \] 1. Запишем выражение для \( a_{n+1} \), подставив \( n+1 \) вместо \( n \): \[ a_{n+1} = \frac{3^{2(n+1)+1}}{2^{3(n+1)-1}} = \frac{3^{2n+2+1}}{2^{3n+3-1}} = \frac{3^{2n+3}}{2^{3n+2}} \] 2. Составим отношение \( \frac{a_{n+1}}{a_n} \): \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3^{2n+3}}{2^{3n+2}} : \frac{3^{2n+1}}{2^{3n-1}} = \frac{3^{2n+3}}{2^{3n+2}} \cdot \frac{2^{3n-1}}{3^{2n+1}} \] 3. Используем свойства степеней \( \frac{x^a}{x^b} = x^{a-b} \): \[ \frac{3^{2n+3}}{3^{2n+1}} = 3^{(2n+3)-(2n+1)} = 3^2 = 9 \] \[ \frac{2^{3n-1}}{2^{3n+2}} = 2^{(3n-1)-(3n+2)} = 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} \] 4. Перемножим полученные результаты: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = 9 \cdot \frac{1}{8} = \frac{9}{8} \] 5. Так как полученное выражение не зависит от \( n \), предел будет равен этому же числу: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{9}{8} \] Ответ: 9/8