Решение дифференциального уравнения y'' + 4y = 0

Решим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами: \[ y'' + 4y = 0 \] Для решения составим характеристическое уравнение, заменив \( y'' \) на \( k^2 \), а \( y \) на \( 1 \): \[ k^2 + 4 = 0 \] Перенесем четверку в правую часть: \[ k^2 = -4 \] Находим корни уравнения. Так как число в правой части отрицательное, корни будут чисто мнимыми: \[ k_{1,2} = \pm \sqrt{-4} = \pm 2i \] Получили корни вида \( k = \alpha \pm \beta i \), где \( \alpha = 0 \), а \( \beta = 2 \). Общее решение линейного однородного уравнения для случая мнимых корней записывается по формуле: \[ y = e^{\alpha x} (C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x)) \] Подставим наши значения \( \alpha = 0 \) и \( \beta = 2 \): \[ y = e^{0 \cdot x} (C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x)) \] Так как \( e^0 = 1 \), окончательный вид общего решения: \[ y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x) \] Ответ: \( y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x) \)