Решение интеграла ∫(x³ + x² + 1) dx

Задание: Найти неопределенный интеграл \[ \int (x^3 + x^2 + 1) dx \] Решение: 1. Воспользуемся свойством линейности неопределенного интеграла (интеграл суммы равен сумме интегралов): \[ \int (x^3 + x^2 + 1) dx = \int x^3 dx + \int x^2 dx + \int 1 dx \] 2. Применим основную формулу интегрирования степенной функции \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \): Для первого слагаемого (\( n=3 \)): \[ \int x^3 dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} = \frac{x^4}{4} \] Для второго слагаемого (\( n=2 \)): \[ \int x^2 dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{x^3}{3} \] Для третьего слагаемого (интеграл от константы): \[ \int 1 dx = x \] 3. Сложим полученные результаты и добавим произвольную постоянную \( C \): \[ \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} + x + C \] Сравним полученный результат с предложенными вариантами ответов: - Первый вариант: \( \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} + C \) (пропущено \( x \)) - Второй вариант: \( \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} + x + C \) (верно) - Третий вариант: \( \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} + 1 + C \) (неверно проинтегрирована единица) - Четвертый вариант: \( x^4 + x^3 + x + C \) (неверные знаменатели) Ответ: Второй вариант. \[ \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} + x + C \]