Решение дифференциального уравнения y' + (1/x)y = 1/x^2

Решение дифференциального уравнения: Дано линейное дифференциальное уравнение первого порядка: \[ y' + \frac{1}{x}y = \frac{1}{x^2} \] Для решения воспользуемся методом интегрирующего множителя. Уравнение имеет вид \( y' + P(x)y = Q(x) \), где \( P(x) = \frac{1}{x} \). 1. Найдем интегрирующий множитель \( \mu(x) \): \[ \mu(x) = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln|x|} = x \] 2. Умножим обе части исходного уравнения на \( x \): \[ x \cdot y' + x \cdot \frac{1}{x}y = x \cdot \frac{1}{x^2} \] \[ x y' + y = \frac{1}{x} \] 3. Заметим, что левая часть уравнения представляет собой производную произведения \( (x \cdot y)' \): \[ (xy)' = \frac{1}{x} \] 4. Проинтегрируем обе части по \( x \): \[ \int (xy)' dx = \int \frac{1}{x} dx \] \[ xy = \ln|x| + C \] 5. Выразим \( y \), разделив обе части на \( x \): \[ y = \frac{\ln|x| + C}{x} \] Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами ответов, мы видим, что он соответствует варианту под номером 3. Ответ: 3) \( y = \frac{\ln|x| + C}{x} \)