Решение: Полный дифференциал функции z = 3x^2 + 2/y

Решение задачи на нахождение полного дифференциала функции двух переменных. Дана функция: \[ z = 3x^2 + \frac{2}{y} \] Полный дифференциал функции \( z(x, y) \) вычисляется по формуле: \[ dz = \frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy \] 1. Найдем частную производную по \( x \). При этом \( y \) считается константой: \[ \frac{\partial z}{\partial x} = (3x^2 + \frac{2}{y})'_x = (3x^2)'_x + (\frac{2}{y})'_x = 6x + 0 = 6x \] 2. Найдем частную производную по \( y \). При этом \( x \) считается константой. Представим \( \frac{2}{y} \) как \( 2y^{-1} \): \[ \frac{\partial z}{\partial y} = (3x^2 + 2y^{-1})'_y = (3x^2)'_y + (2y^{-1})'_y = 0 + 2 \cdot (-1) \cdot y^{-2} = -\frac{2}{y^2} \] 3. Подставим найденные производные в формулу дифференциала: \[ dz = 6xdx - \frac{2}{y^2}dy \] Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, видим, что он соответствует варианту под номером 3. Ответ: 3. \( 6xdx - \frac{2}{y^2}dy \)