Решение задачи на нахождение площади области

Решение задачи на нахождение площади области. Дана область \( D \), ограниченная линиями: \[ y = x^2, \quad 4y = x^2 \text{ (или } y = \frac{x^2}{4}\text{)}, \quad y = 4 \] Для нахождения площади удобнее всего интегрировать по переменной \( y \), так как все границы выражаются через \( x = \pm\sqrt{y} \) и \( x = \pm\sqrt{4y} = \pm2\sqrt{y} \). Область симметрична относительно оси \( Oy \), поэтому найдем площадь правой части и умножим на 2. 1. Выразим \( x \) через \( y \) для правой полуплоскости (\( x \ge 0 \)): Правая граница: \( x = \sqrt{4y} = 2\sqrt{y} \) Левая граница: \( x = \sqrt{y} \) 2. Пределы интегрирования по \( y \): от 0 до 4. 3. Вычислим площадь \( S \): \[ S = 2 \cdot \int_{0}^{4} (2\sqrt{y} - \sqrt{y}) dy \] \[ S = 2 \cdot \int_{0}^{4} \sqrt{y} dy \] 4. Вычислим интеграл: \[ S = 2 \cdot \left[ \frac{y^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{4} = 2 \cdot \frac{2}{3} \cdot \left[ y\sqrt{y} \right]_{0}^{4} \] \[ S = \frac{4}{3} \cdot (4\sqrt{4} - 0) = \frac{4}{3} \cdot (4 \cdot 2) = \frac{4}{3} \cdot 8 = \frac{32}{3} \] Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, видим, что он соответствует варианту под номером 1. Ответ: 1. \( \frac{32}{3} \)