Решение Интегралов: Метод по Частям и Разложение на Дроби

Анализ методов интегрирования для предложенных выражений: Метод интегрирования по частям основан на формуле \( \int u dv = uv - \int v du \). Он обычно применяется для интегралов от произведения функций разных типов (например, многочлен на тригонометрическую или логарифмическую функцию). Рассмотрим каждый вариант: 1. \( \int \frac{dx}{x^2 + x} \) — это интеграл от рациональной дроби. Он вычисляется методом разложения на элементарные дроби: \( \frac{1}{x(x+1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} \). Интегрирование по частям здесь не требуется. 2. \( \int x \cos x dx \) — классический пример для интегрирования по частям. Здесь удобно положить \( u = x \) (многочлен), а \( dv = \cos x dx \) (тригонометрическая функция). 3. \( \int x \ln x dx \) — также вычисляется по частям. В данном случае за \( u \) принимается логарифм: \( u = \ln x \), а за \( dv = x dx \). 4. \( \int \cos^3 x dx \) — вычисляется методом подстановки. Нужно отщепить один косинус: \( \int \cos^2 x \cdot \cos x dx = \int (1 - \sin^2 x) d(\sin x) \). Таким образом, правильными ответами являются второй и третий варианты. Ответ: \[ \int x \cos x dx \] \[ \int x \ln x dx \]