Решение задачи: Интервал сходимости степенного ряда ∑(n=1 to ∞) [n⁵/(n+1)!]xⁿ

Задание: Найти интервал сходимости степенного ряда \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^5}{(n+1)!} x^n\). Решение: 1. Выпишем общий коэффициент ряда \(a_n\): \[a_n = \frac{n^5}{(n+1)!}\] 2. Для нахождения радиуса сходимости \(R\) воспользуемся формулой Даламбера: \[R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right|\] 3. Найдем коэффициент \(a_{n+1}\): \[a_{n+1} = \frac{(n+1)^5}{(n+2)!}\] 4. Подставим выражения в предел: \[R = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n^5}{(n+1)!} \cdot \frac{(n+2)!}{(n+1)^5} \right)\] 5. Упростим дробь, учитывая, что \((n+2)! = (n+1)! \cdot (n+2)\): \[R = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n^5}{(n+1)^5} \cdot \frac{(n+1)! \cdot (n+2)}{(n+1)!} \right)\] \[R = \lim_{n \to \infty} \left( \left(\frac{n}{n+1}\right)^5 \cdot (n+2) \right)\] 6. Вычислим предел: Так как \(\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} = 1\), то первая часть выражения стремится к \(1^5 = 1\). Вторая часть \((n+2)\) при \(n \to \infty\) стремится к бесконечности. \[R = 1 \cdot \infty = \infty\] 7. Так как радиус сходимости \(R = \infty\), это означает, что ряд сходится при любых значениях \(x\). Ответ: \((-\infty; +\infty)\)