Решение задачи на сходимость рядов А и Б

Решение задачи. Даны ряды А) \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n-1}{9n+2}\] и Б) \[\sum_{n=1}^{\infty} 5^n\]. Тогда нужно определить, сходятся или расходятся эти ряды. Для определения сходимости или расходимости ряда, в первую очередь, необходимо проверить выполнение необходимого условия сходимости ряда: \(\lim_{n \to \infty} a_n = 0\). Если этот предел не равен нулю, то ряд расходится. Если предел равен нулю, то ряд может как сходиться, так и расходиться, и требуются дополнительные критерии. Рассмотрим ряд А): \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n-1}{9n+2}\] Общий член ряда \(a_n = \frac{n-1}{9n+2}\). Найдем предел общего члена при \(n \to \infty\): \[\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n-1}{9n+2}\] Для вычисления предела рациональной функции при \(n \to \infty\), делим числитель и знаменатель на старшую степень \(n\), то есть на \(n\): \[\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n}{n}-\frac{1}{n}}{\frac{9n}{n}+\frac{2}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1-\frac{1}{n}}{9+\frac{2}{n}}\] При \(n \to \infty\), \(\frac{1}{n} \to 0\) и \(\frac{2}{n} \to 0\). \[\lim_{n \to \infty} \frac{1-\frac{1}{n}}{9+\frac{2}{n}} = \frac{1-0}{9+0} = \frac{1}{9}\] Так как \(\lim_{n \to \infty} a_n = \frac{1}{9} \ne 0\), то необходимое условие сходимости ряда не выполняется. Следовательно, ряд А) расходится. Рассмотрим ряд Б): \[\sum_{n=1}^{\infty} 5^n\] Общий член ряда \(a_n = 5^n\). Найдем предел общего члена при \(n \to \infty\): \[\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} 5^n\] При \(n \to \infty\), \(5^n\) стремится к бесконечности. \[\lim_{n \to \infty} 5^n = \infty\] Так как \(\lim_{n \to \infty} a_n = \infty \ne 0\), то необходимое условие сходимости ряда не выполняется. Следовательно, ряд Б) расходится. Кроме того, ряд Б) является геометрическим рядом с первым членом \(a = 5\) (при \(n=1\)) и знаменателем \(q = 5\). Геометрический ряд сходится, если \(|q| < 1\), и расходится, если \(|q| \ge 1\). В нашем случае \(|q| = 5 \ge 1\), поэтому ряд расходится. Выводы: Ряд А) расходится. Ряд Б) расходится. Окончательный ответ: ряд Б) расходится ряд А) расходится