Решение интеграла ∫(x² + 5x + 7) dx

Задание: Найти неопределенный интеграл \(\int (x^2 + 5x + 7) dx\). Решение: Для решения воспользуемся свойствами линейности интеграла и основной табличной формулой для степенной функции: \[\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\] 1. Разложим интеграл суммы на сумму интегралов: \[\int (x^2 + 5x + 7) dx = \int x^2 dx + \int 5x dx + \int 7 dx\] 2. Вынесем константы за знак интеграла: \[\int x^2 dx + 5 \int x dx + 7 \int dx\] 3. Применим формулу интегрирования к каждому слагаемому: - Для \(x^2\): \(\frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{x^3}{3}\) - Для \(x\): \(5 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = \frac{5x^2}{2}\) - Для константы \(7\): \(7x\) 4. Собираем все части вместе и добавляем произвольную постоянную \(C\): \[\frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} + 7x + C\] Ответ: Первый вариант в списке: \(\frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} + 7x + C\)