Уравнение касательной плоскости к z = sin(x/y) в точке M(π, 1, 0)

Задание: Найти уравнение касательной плоскости к поверхности \(z = \sin \frac{x}{y}\) в точке \(M(\pi, 1, 0)\). Решение: 1. Уравнение касательной плоскости к поверхности \(z = f(x, y)\) в точке \(M(x_0, y_0, z_0)\) имеет вид: \[z - z_0 = f'_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f'_y(x_0, y_0)(y - y_0)\] 2. Найдем частные производные функции \(f(x, y) = \sin \frac{x}{y}\): - По \(x\): \[f'_x = \cos\left(\frac{x}{y}\right) \cdot \left(\frac{x}{y}\right)'_x = \cos\left(\frac{x}{y}\right) \cdot \frac{1}{y}\] - По \(y\): \[f'_y = \cos\left(\frac{x}{y}\right) \cdot \left(\frac{x}{y}\right)'_y = \cos\left(\frac{x}{y}\right) \cdot \left(-\frac{x}{y^2}\right)\] 3. Вычислим значения производных в точке \(M(\pi, 1)\): - \(f'_x(\pi, 1) = \cos\left(\frac{\pi}{1}\right) \cdot \frac{1}{1} = \cos(\pi) \cdot 1 = -1 \cdot 1 = -1\) - \(f'_y(\pi, 1) = \cos\left(\frac{\pi}{1}\right) \cdot \left(-\frac{\pi}{1^2}\right) = \cos(\pi) \cdot (-\pi) = -1 \cdot (-\pi) = \pi\) 4. Подставим координаты точки \(M(\pi, 1, 0)\) и значения производных в уравнение плоскости: \[z - 0 = -1 \cdot (x - \pi) + \pi \cdot (y - 1)\] \[z = -x + \pi + \pi y - \pi\] 5. Упростим выражение: \[z = -x + \pi y\] Перенесем всё в одну сторону, чтобы привести к виду из вариантов ответа: \[x - \pi y + z = 0\] Ответ: Вариант 1. \(x - \pi y + z = 0\)