Решение двойного интеграла: область, ограниченная y=x²/2 и y=8

Задание: Представить двойной интеграл \(\iint_D f(x,y) dxdy\) в виде повторного, если область \(D\) ограничена линиями \(y = \frac{x^2}{2}\) и \(y = 8\). Решение: 1. Найдем точки пересечения заданных линий, чтобы определить пределы интегрирования по \(x\): \[\frac{x^2}{2} = 8\] \[x^2 = 16\] \[x_1 = -4, \quad x_2 = 4\] Следовательно, переменная \(x\) изменяется в интервале от \(-4\) до \(4\). 2. Определим порядок следования функций для пределов по \(y\). Область \(D\) ограничена снизу параболой \(y = \frac{x^2}{2}\) и сверху прямой \(y = 8\). Значит, для любого \(x\) из интервала \([-4, 4]\) переменная \(y\) меняется от \(\frac{x^2}{2}\) до \(8\). 3. Запишем повторный интеграл: Внешний интеграл берется по \(x\) от \(-4\) до \(4\), а внутренний по \(y\) от нижней границы до верхней: \[\int_{-4}^{4} dx \int_{\frac{x^2}{2}}^{8} f(x,y) dy\] 4. Сравним полученный результат с предложенными вариантами на картинке. Третий вариант в списке полностью совпадает с нашим решением: \[\int_{-4}^{4} dx \int_{\frac{x^2}{2}}^{8} f(x,y) dy\] Ответ: Третий вариант. \(\int_{-4}^{4} dx \int_{\frac{x^2}{2}}^{8} f(x,y) dy\)