Решение Определенного Интеграла: Пример

Задание: Установить соответствие между определенным интегралом и его значением. Решение: Для вычисления используем формулу Ньютона-Лейбница: \(\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)\). Вычислим каждый интеграл: А. \(\int_{-1}^{2} (4x + 5) dx\) \[\int_{-1}^{2} (4x + 5) dx = [2x^2 + 5x]_{-1}^{2} = (2 \cdot 2^2 + 5 \cdot 2) - (2 \cdot (-1)^2 + 5 \cdot (-1)) = (8 + 10) - (2 - 5) = 18 - (-3) = 21\] Соответствие: А — 1. В. \(\int_{-2}^{1} (3 - 2x - x^2) dx\) \[\int_{-2}^{1} (3 - 2x - x^2) dx = [3x - x^2 - \frac{x^3}{3}]_{-2}^{1} = (3 - 1 - \frac{1}{3}) - (-6 - 4 - \frac{-8}{3}) = (2 - \frac{1}{3}) - (-10 + \frac{8}{3}) = \frac{5}{3} - (-\frac{22}{3}) = \frac{27}{3} = 9\] Соответствие: В — 3. С. \(\int_{0}^{2} (x^3 - x^2) dx\) \[\int_{0}^{2} (x^3 - x^2) dx = [\frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3}]_{0}^{2} = (\frac{16}{4} - \frac{8}{3}) - 0 = 4 - \frac{8}{3} = \frac{12-8}{3} = \frac{4}{3}\] Соответствие: С — 4. D. \(\int_{1}^{2} (3x^2 - 2x + 1) dx\) \[\int_{1}^{2} (3x^2 - 2x + 1) dx = [x^3 - x^2 + x]_{1}^{2} = (8 - 4 + 2) - (1 - 1 + 1) = 6 - 1 = 5\] Соответствие: D — 2. Итоговое соответствие: А — 1 В — 3 С — 4 D — 2