Решение: Радиус сходимости степенного ряда ∑(n=0 до ∞) nx^n / (3^n (n+1))

Задание: Найти радиус сходимости степенного ряда \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n x^n}{3^n (n+1)}\). Решение: 1. Выпишем коэффициент степенного ряда \(a_n\): \[a_n = \frac{n}{3^n (n+1)}\] 2. Для нахождения радиуса сходимости \(R\) воспользуемся формулой Даламбера: \[R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right|\] 3. Запишем выражение для \(a_{n+1}\): \[a_{n+1} = \frac{n+1}{3^{n+1} (n+2)}\] 4. Найдем отношение \(\frac{a_n}{a_{n+1}}\): \[\frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{n}{3^n (n+1)} \cdot \frac{3^{n+1} (n+2)}{n+1} = \frac{n \cdot 3^n \cdot 3 \cdot (n+2)}{3^n \cdot (n+1) \cdot (n+1)} = \frac{3n(n+2)}{(n+1)^2}\] 5. Вычислим предел при \(n \to \infty\): \[R = \lim_{n \to \infty} \frac{3n^2 + 6n}{n^2 + 2n + 1}\] Разделим числитель и знаменатель на \(n^2\): \[R = \lim_{n \to \infty} \frac{3 + \frac{6}{n}}{1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2}} = \frac{3 + 0}{1 + 0 + 0} = 3\] Ответ: 3. (Третий вариант в списке).