Решение дифференциального уравнения y' = x e^(x^2) (1 + y^2)

Задание: Найти общее решение дифференциального уравнения \(y' = x e^{x^2} (1 + y^2)\). Решение: 1. Запишем производную \(y'\) как \(\frac{dy}{dx}\): \[\frac{dy}{dx} = x e^{x^2} (1 + y^2)\] 2. Это уравнение с разделяющимися переменными. Перенесем все члены с \(y\) в левую часть, а с \(x\) — в правую: \[\frac{dy}{1 + y^2} = x e^{x^2} dx\] 3. Проинтегрируем обе части уравнения: \[\int \frac{dy}{1 + y^2} = \int x e^{x^2} dx\] 4. Вычислим интегралы: - Левая часть: \(\int \frac{dy}{1 + y^2} = \text{arctg } y\) - Правая часть: Для вычисления \(\int x e^{x^2} dx\) воспользуемся методом замены переменной. Пусть \(t = x^2\), тогда \(dt = 2x dx\), откуда \(x dx = \frac{dt}{2}\). \[\int x e^{x^2} dx = \int e^t \frac{dt}{2} = \frac{1}{2} e^t = \frac{e^{x^2}}{2}\] 5. Объединяем результаты и добавляем константу \(C\): \[\text{arctg } y = \frac{e^{x^2}}{2} + C\] 6. Сравним с вариантами на картинке. Полученное выражение соответствует варианту под номером 1. Ответ: Вариант 1. \(\text{arctg } y = \frac{e^{x^2}}{2} + C\)