Решение: Найти z'_x для функции z = 2x/y + 4√x - 1 в точке A(1;2)

Задание: Найти значение частной производной \(z'_x\) в точке \(A(1; 2)\) для функции \(z = \frac{2x}{y} + 4\sqrt{x} - 1\). Решение: 1. Найдем частную производную функции \(z\) по переменной \(x\). При этом переменную \(y\) мы считаем константой (постоянной величиной): \[z'_x = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{2x}{y} + 4\sqrt{x} - 1 \right)\] 2. Дифференцируем каждое слагаемое по отдельности: - Производная от \(\frac{2x}{y}\) по \(x\) равна \(\frac{2}{y}\). - Производная от \(4\sqrt{x}\) (или \(4x^{1/2}\)) равна \(4 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{2}{\sqrt{x}}\). - Производная от константы \(-1\) равна \(0\). Получаем общее выражение для производной: \[z'_x = \frac{2}{y} + \frac{2}{\sqrt{x}}\] 3. Подставим координаты точки \(A(1; 2)\), где \(x = 1\), а \(y = 2\), в полученное выражение: \[z'_x(1; 2) = \frac{2}{2} + \frac{2}{\sqrt{1}}\] \[z'_x(1; 2) = 1 + \frac{2}{1} = 1 + 2 = 3\] Ответ: 3.