Решение:

Задание: Вычислить двойной интеграл \(\iint_{D} xy dx dy\), где область \(D = \{(x, y): 1 \le x \le 2, 1 \le y \le 2\}\). Решение: 1. Так как область \(D\) является прямоугольником, а подынтегральная функция представляет собой произведение функций от \(x\) и от \(y\), мы можем расписать двойной интеграл как произведение двух определенных интегралов: \[\iint_{D} xy dx dy = \left( \int_{1}^{2} x dx \right) \cdot \left( \int_{1}^{2} y dy \right)\] 2. Вычислим первый интеграл по переменной \(x\): \[\int_{1}^{2} x dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{2} = \frac{2^2}{2} - \frac{1^2}{2} = \frac{4}{2} - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}\] 3. Вычислим второй интеграл по переменной \(y\): \[\int_{1}^{2} y dy = \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{1}^{2} = \frac{2^2}{2} - \frac{1^2}{2} = \frac{4}{2} - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}\] 4. Перемножим полученные результаты: \[\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{4}\] 5. Сравним с вариантами ответа: 1) \(\frac{9}{4}\) 2) \(\frac{3}{2}\) 3) \(1\) 4) \(2\) Правильный ответ находится под номером 1. Ответ: 1. \(\frac{9}{4}\)