Решение определенного интеграла ∫(3x²-2x+1)dx

Задание: Вычислить определенный интеграл \(\int_{1}^{2} (3x^2 - 2x + 1) dx\). Решение: 1. Для вычисления определенного интеграла воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: \[\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)\] где \(F(x)\) — первообразная функции \(f(x)\). 2. Найдем первообразную для функции \(3x^2 - 2x + 1\): - Для \(3x^2\): \(3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3\) - Для \(-2x\): \(-2 \cdot \frac{x^2}{2} = -x^2\) - Для \(1\): \(x\) Таким образом, \(F(x) = x^3 - x^2 + x\). 3. Применим формулу Ньютона-Лейбница на отрезке от 1 до 2: \[\int_{1}^{2} (3x^2 - 2x + 1) dx = \left[ x^3 - x^2 + x \right]_{1}^{2}\] 4. Подставим верхний предел (2): \[F(2) = 2^3 - 2^2 + 2 = 8 - 4 + 2 = 6\] 5. Подставим нижний предел (1): \[F(1) = 1^3 - 1^2 + 1 = 1 - 1 + 1 = 1\] 6. Найдем разность: \[F(2) - F(1) = 6 - 1 = 5\] Ответ: 5.