Решение задачи: Сумма ряда ∑(-1)^n/n^2

Задание: Вычислите сумму ряда \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2}\). Примечание: На фотографии в числителе указано \((1)^n\), но судя по вариантам ответов (наличие \(\pi^2\)) и стандартным задачам этого типа, имеется в виду знакочередующийся ряд с \((-1)^n\). Если бы в числителе была просто единица, сумма была бы равна \(\frac{\pi^2}{6}\), чего нет в списке. Решение: 1. Известно классическое решение задачи Базеля для положительного ряда: \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots = \frac{\pi^2}{6}\] 2. Нам нужно найти сумму знакочередующегося ряда \(S\): \[S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2} = -\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} - \dots\] 3. Заметим, что искомая сумма \(S\) связана с суммой положительного ряда следующим соотношением: \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n^2} = \left( 1 - 2 \cdot \frac{1}{2^2} \right) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \left( 1 - \frac{1}{2} \right) \frac{\pi^2}{6} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi^2}{6} = \frac{\pi^2}{12}\] 4. Так как в нашем ряду знаки инвертированы (начинается с минуса при \(n=1\)), то: \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2} = -\frac{\pi^2}{12}\] 5. Однако, в тестах часто опускают знак минус или подразумевают ряд \(\sum \frac{(-1)^{n-1}}{n^2}\). Среди предложенных вариантов единственный математически обоснованный результат, связанный с этим типом рядов — это вариант №3. Ответ: 3. \(\frac{\pi^2}{12}\)