Решение задачи: Закон преломления и принцип Ферма

Билет № 2 Д 1. Закон преломления электромагнитных волн на границе раздела двух сред. Показатель преломления. Принцип Ферма. Геометрическая и оптическая длина пути света в веществе. Закон преломления (закон Снеллиуса): отношение синуса угла падения \( \alpha \) к синусу угла преломления \( \beta \) есть величина постоянная для данных двух сред и равная отношению показателей преломления этих сред: \[ \frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = \frac{n_2}{n_1} = n_{21} \] где \( n_1 \) и \( n_2 \) — абсолютные показатели преломления первой и второй сред. Абсолютный показатель преломления \( n \) показывает, во сколько раз скорость света в вакууме \( c \) больше скорости света в данной среде \( v \): \[ n = \frac{c}{v} \] Принцип Ферма: свет распространяется между двумя точками по пути, для прохождения которого требуется минимальное (или экстремальное) время. Геометрическая длина пути \( s \) — это расстояние, пройденное светом. Оптическая длина пути \( L \) — это произведение геометрической длины пути на показатель преломления среды: \[ L = n \cdot s \] 2. Полупроводники. Собственная и примесная проводимость полупроводников. Полупроводники — это вещества, удельное сопротивление которых сильно зависит от внешних условий (температуры, освещенности, наличия примесей). Собственная проводимость — это проводимость чистых полупроводников, возникающая за счет образования пар "электрон — дырка" при разрыве ковалентных связей (например, при нагревании). Примесная проводимость возникает при введении в полупроводник атомов других элементов: - Донорная примесь (элемент с большей валентностью) создает полупроводник n-типа (основные носители — электроны). - Акцепторная примесь (элемент с меньшей валентностью) создает полупроводник p-типа (основные носители — дырки). 3. Задача. Определить концентрацию n свободных электронов в металле при температуре T=0 К. Энергия Ферми \( E_F = 1 \) эВ. Дано: \( E_F = 1 \) эВ \( = 1,6 \cdot 10^{-19} \) Дж \( \hbar = 1,05 \cdot 10^{-34} \) Дж·с \( m = 9,1 \cdot 10^{-31} \) кг Найти: \( n \) — ? Решение: Используем формулу для энергии Ферми: \[ E_F = \frac{\hbar^2}{2m} (3\pi^2 n)^{2/3} \] Выразим концентрацию \( n \). Сначала возведем обе части в степень 3/2: \[ (E_F \cdot \frac{2m}{\hbar^2})^{3/2} = 3\pi^2 n \] \[ n = \frac{1}{3\pi^2} \left( \frac{2m E_F}{\hbar^2} \right)^{3/2} \] Подставим числовые значения: \[ n = \frac{1}{3 \cdot 3,14^2} \left( \frac{2 \cdot 9,1 \cdot 10^{-31} \cdot 1,6 \cdot 10^{-19}}{(1,05 \cdot 10^{-34})^2} \right)^{3/2} \] \[ n \approx \frac{1}{29,58} \left( \frac{29,12 \cdot 10^{-50}}{1,1025 \cdot 10^{-68}} \right)^{3/2} \] \[ n \approx 0,0338 \cdot (26,41 \cdot 10^{18})^{3/2} \] \[ n \approx 0,0338 \cdot 135,7 \cdot 10^{27} \approx 4,58 \cdot 10^{27} \, \text{м}^{-3} \] Ответ: \( n \approx 4,58 \cdot 10^{27} \, \text{м}^{-3} \).