Разложение e^(4x) в ряд Маклорена: Решение с объяснениями

Решение задачи. Нам нужно найти разложение функции \(e^{4x}\) в ряд Маклорена. Вспомним стандартное разложение функции \(e^u\) в ряд Маклорена: \[e^u = 1 + \frac{u}{1!} + \frac{u^2}{2!} + \frac{u^3}{3!} + \dots + \frac{u^n}{n!} + \dots\] Этот ряд сходится для всех \(u \in (-\infty, \infty)\). В нашем случае, \(u = 4x\). Подставим \(4x\) вместо \(u\) в формулу ряда Маклорена: \[e^{4x} = 1 + \frac{4x}{1!} + \frac{(4x)^2}{2!} + \frac{(4x)^3}{3!} + \dots + \frac{(4x)^n}{n!} + \dots\] Теперь упростим первые несколько членов ряда: \[e^{4x} = 1 + \frac{4x}{1!} + \frac{16x^2}{2!} + \frac{64x^3}{3!} + \dots + \frac{(4x)^n}{n!} + \dots\] Сравним полученное разложение с предложенными вариантами. Вариант 1: \[1 + \frac{4x}{1!} + \frac{16x^2}{2!} + \dots + \frac{(4x)^n}{n!} + \dots (-\infty < x < \infty)\] Этот вариант точно соответствует нашему разложению. Вариант 2: \[1 + \frac{4x}{1!} + \frac{4x^3}{3!} + \dots + \frac{4x^{n+1}}{n!} + \dots (-\infty < x < \infty)\] Этот вариант неверен, так как второй член \(\frac{4x^3}{3!}\) не соответствует \(\frac{(4x)^2}{2!} = \frac{16x^2}{2!}\). Также общий член \(\frac{4x^{n+1}}{n!}\) неверен. Вариант 3: \[\frac{4x}{1!} + \frac{16x^2}{2!} + \dots + \frac{4x^n}{n!} + \dots (-\infty < x < \infty)\] Этот вариант неверен, так как отсутствует первый член \(1\). Также общий член \(\frac{4x^n}{n!}\) неверен, должен быть \(\frac{(4x)^n}{n!}\). Вариант 4: \[1 - \frac{4x}{1!} - \frac{4x^2}{2!} - \dots - \frac{4x^n}{n!} + \dots (-\infty < x < \infty)\] Этот вариант неверен, так как знаки членов должны быть положительными, а также коэффициенты при \(x^2\) и \(x^n\) неверны. Таким образом, правильным является первый вариант. Окончательный ответ: Разложение функции \(e^{4x}\) в ряд Маклорена имеет вид: \[1 + \frac{4x}{1!} + \frac{16x^2}{2!} + \dots + \frac{(4x)^n}{n!} + \dots (-\infty < x < \infty)\]