Решение задачи: Определение периода обращения электрона в атоме водорода

Билет №29 А Задача. Определить период обращения электрона \( T_n \) на первой орбите (\( n=1 \)) в атоме водорода. Дано: \( n = 1 \) \( m = 9,1 \cdot 10^{-31} \) кг \( e = 1,6 \cdot 10^{-19} \) Кл \( \varepsilon_0 = 8,85 \cdot 10^{-12} \) Ф/м \( \hbar = 1,05 \cdot 10^{-34} \) Дж \(\cdot\) с \( \pi = 3,14 \) Найти: \( T_1 \) — ? Решение: 1. Согласно теории Бора, для электрона на круговой орбите выполняется условие квантования момента импульса: \[ m v r = n \hbar \] Откуда скорость электрона: \[ v = \frac{n \hbar}{m r} \] 2. Сила Кулона является центростремительной силой: \[ \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{e^2}{r^2} = \frac{m v^2}{r} \] Подставим выражение для \( v \): \[ \frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0 r} = m \left( \frac{n \hbar}{m r} \right)^2 = \frac{n^2 \hbar^2}{m r^2} \] Отсюда радиус \( n \)-ой орбиты: \[ r_n = \frac{4 \pi \varepsilon_0 n^2 \hbar^2}{m e^2} \] 3. Период обращения электрона \( T \) связан с радиусом и скоростью формулой: \[ T = \frac{2 \pi r}{v} \] Подставим \( v = \frac{n \hbar}{m r} \): \[ T = \frac{2 \pi r \cdot m r}{n \hbar} = \frac{2 \pi m r^2}{n \hbar} \] 4. Подставим выражение для \( r_n \) в формулу периода: \[ T_n = \frac{2 \pi m}{n \hbar} \left( \frac{4 \pi \varepsilon_0 n^2 \hbar^2}{m e^2} \right)^2 = \frac{32 \pi^3 \varepsilon_0^2 n^3 \hbar^3}{m e^4} \] 5. Вычислим значение для \( n = 1 \): \[ T_1 = \frac{32 \cdot (3,14)^3 \cdot (8,85 \cdot 10^{-12})^2 \cdot 1^3 \cdot (1,05 \cdot 10^{-34})^3}{9,1 \cdot 10^{-31} \cdot (1,6 \cdot 10^{-19})^4} \] \[ T_1 \approx \frac{32 \cdot 30,96 \cdot 78,32 \cdot 10^{-24} \cdot 1,157 \cdot 10^{-102}}{9,1 \cdot 10^{-31} \cdot 6,55 \cdot 10^{-76}} \] \[ T_1 \approx \frac{89850 \cdot 10^{-126}}{59,6 \cdot 10^{-107}} \approx 1507 \cdot 10^{-19} \text{ с} \] \[ T_1 \approx 1,51 \cdot 10^{-16} \text{ с} \] Ответ: \( T_1 \approx 1,51 \cdot 10^{-16} \) с.