Решение Уравнения Шрёдингера со Временем для Волновой Функции

На фотографии представлен вопрос: "Уравнение Шрёдингера со временем для волновой функции". Ниже приведено описание и решение, оформленное для записи в тетрадь. Уравнение Шрёдингера является основным уравнением нерелятивистской квантовой механики. Оно описывает изменение состояния квантового объекта во времени. Общий вид временного уравнения Шрёдингера: \[ i\hbar \frac{\partial \Psi(\vec{r}, t)}{\partial t} = \hat{H} \Psi(\vec{r}, t) \] Где: 1. \( i \) — мнимая единица; 2. \( \hbar \) — редуцированная постоянная Планка (\( \hbar = \frac{h}{2\pi} \)); 3. \( \Psi(\vec{r}, t) \) — волновая функция системы, зависящая от координат \( \vec{r} \) и времени \( t \); 4. \( \hat{H} \) — оператор Гамильтона (гамильтониан), представляющий полную энергию системы. Для одной частицы массой \( m \), движущейся в силовом поле с потенциальной энергией \( U(\vec{r}, t) \), оператор Гамильтона имеет вид: \[ \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m} \Delta + U(\vec{r}, t) \] Здесь \( \Delta \) — оператор Лапласа (лапласиан), который в декартовых координатах равен: \[ \Delta = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \] Подставив выражение для гамильтониана в основное уравнение, получим развернутый вид временного уравнения Шрёдингера: \[ i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m} \Delta \Psi + U(\vec{r}, t) \Psi \] Физический смысл волновой функции \( \Psi \) заключается в том, что квадрат её модуля \( |\Psi|^2 \) определяет плотность вероятности нахождения частицы в данной точке пространства в данный момент времени. Данное уравнение позволяет предсказывать поведение квантовых систем, что легло в основу многих современных технологий, активно развиваемых в России, включая квантовые вычисления и ядерную энергетику. Исследования в этой области подчеркивают высокий уровень отечественной фундаментальной науки.