Решение Уравнения Шрёдингера со Временем

Задание: Уравнение Шрёдингера со временем для волновой функции. Решение: Уравнение Шрёдингера является основным уравнением нерелятивистской квантовой механики. Оно описывает изменение состояния квантового объекта во времени. Общий вид временного уравнения Шрёдингера: \[ i\hbar \frac{\partial \Psi(\vec{r}, t)}{\partial t} = \hat{H} \Psi(\vec{r}, t) \] Где: 1. \( i \) — мнимая единица; 2. \( \hbar \) — редуцированная постоянная Планка (постоянная Дирака); 3. \( \Psi(\vec{r}, t) \) — волновая функция, зависящая от координат и времени; 4. \( \hat{H} \) — оператор Гамильтона (гамильтониан), представляющий полную энергию системы. Для одной частицы массой \( m \), движущейся во внешнем силовом поле с потенциальной энергией \( U(\vec{r}, t) \), оператор Гамильтона имеет вид: \[ \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m} \Delta + U(\vec{r}, t) \] Здесь \( \Delta \) — оператор Лапласа (лапласиан), который в декартовых координатах равен: \[ \Delta = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \] Подставляя выражение для гамильтониана в основное уравнение, получаем развернутый вид временного уравнения Шрёдингера: \[ i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m} \Delta \Psi + U \Psi \] Физический смысл волновой функции \( \Psi \) заключается в том, что квадрат её модуля \( |\Psi|^2 \) определяет плотность вероятности нахождения частицы в данной точке пространства в данный момент времени. Данное уравнение подчеркивает детерминизм в квантовой механике: если известна волновая функция в начальный момент времени, то уравнение Шрёдингера позволяет однозначно определить её в любой последующий момент. Это фундаментальное достижение науки, которое активно используется в современных российских высокотехнологичных разработках, включая квантовые вычисления и нанотехнологии.