Скорость электрона на первой боровской орбите в атоме водорода

Задача. Определить скорость электрона \( \upsilon_1 \) на первой боровской орбите в атоме водорода. Дано: \( m = 9,1 \cdot 10^{-31} \) кг \( e = 1,6 \cdot 10^{-19} \) Кл \( \varepsilon_0 = 8,85 \cdot 10^{-12} \) Ф/м \( \hbar = 1,05 \cdot 10^{-34} \) Дж \(\cdot\) с \( r = 0,5 \cdot 10^{-10} \) м Найти: \( \upsilon_1 \) — ? Решение: Согласно первому постулату Бора, электрон в атоме водорода движется по круговой орбите под действием кулоновской силы притяжения к ядру (протону). Второй закон Ньютона для электрона имеет вид: \[ m a_n = F_k \] где \( a_n = \frac{\upsilon^2}{r} \) — центростремительное ускорение, а \( F_k \) — сила Кулона: \[ F_k = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{e^2}{r^2} \] Подставим выражения в уравнение второго закона Ньютона: \[ m \frac{\upsilon^2}{r} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{e^2}{r^2} \] Отсюда выразим квадрат скорости: \[ \upsilon^2 = \frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0 m r} \] Следовательно, скорость электрона равна: \[ \upsilon = \sqrt{\frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0 m r}} \] Также можно воспользоваться правилом квантования орбитального момента импульса Бора: \[ m \upsilon r = n \hbar \] Для первой орбиты (\( n = 1 \)): \[ \upsilon_1 = \frac{\hbar}{m r} \] Произведем расчет по второй формуле, так как она проще: \[ \upsilon_1 = \frac{1,05 \cdot 10^{-34}}{9,1 \cdot 10^{-31} \cdot 0,5 \cdot 10^{-10}} \] \[ \upsilon_1 = \frac{1,05 \cdot 10^{-34}}{4,55 \cdot 10^{-41}} \approx 0,23 \cdot 10^7 \text{ м/с} = 2,3 \cdot 10^6 \text{ м/с} \] Ответ: \( \upsilon_1 \approx 2,3 \cdot 10^6 \) м/с.