Решение задачи №29С: Постулаты квантовой механики. Уравнение Шредингера

Билет №29 С 1. Постулаты квантовой механики. Волновая функция. Уравнения Шредингера со временем. Стационарное уравнение Шредингера. Квантовая механика описывает микромир. Основные положения: — Состояние системы описывается волновой функцией \( \Psi(x, y, z, t) \). Квадрат ее модуля \( |\Psi|^2 \) определяет плотность вероятности нахождения частицы в данной точке пространства. — Физическим величинам соответствуют операторы. — Уравнение Шредингера (зависящее от времени) описывает эволюцию квантового состояния: \[ i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = \hat{H} \Psi \] где \( \hat{H} \) — оператор Гамильтона (полной энергии). — Если внешние поля не зависят от времени, используется стационарное уравнение Шредингера: \[ \hat{H} \psi = E \psi \] где \( E \) — энергия частицы. 2. Свет как поперечная электромагнитная волна. Дифференциальное волновое уравнение. Выражение для гармонической электромагнитной волны. Длина волны. Скорость распространения света в вакууме и в средах. Свет представляет собой электромагнитную волну, в которой векторы \( \vec{E} \) и \( \vec{B} \) колеблются перпендикулярно друг другу и направлению распространения (поперечность). Дифференциальное волновое уравнение для вектора \( \vec{E} \): \[ \Delta \vec{E} = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} \] Уравнение плоской гармонической волны: \[ E = E_0 \cos(\omega t - kx) \] Длина волны \( \lambda \) — расстояние, на которое волна распространяется за один период \( T \): \[ \lambda = v T = \frac{v}{\nu} \] Скорость света в вакууме \( c \approx 3 \cdot 10^8 \) м/с. В среде скорость \( v = \frac{c}{n} \), где \( n \) — показатель преломления. 3. Задача Дано: \( n = 1 \) \( m = 9,1 \cdot 10^{-31} \) кг \( e = 1,6 \cdot 10^{-19} \) Кл \( \varepsilon_0 = 8,85 \cdot 10^{-12} \) Ф/м \( \hbar = 1,05 \cdot 10^{-34} \) Дж \(\cdot\) с Найти: \( T_n \) — ? Решение: Период обращения \( T_n \) — это величина, обратная частоте \( \nu_n \). Используя формулу для частоты из теории Бора: \[ T_n = \frac{1}{\nu_n} = \frac{32 \pi^3 \varepsilon_0^2 \hbar^3 n^3}{m e^4} \] Для первой орбиты (\( n = 1 \)): \[ T_1 = \frac{32 \pi^3 \varepsilon_0^2 \hbar^3}{m e^4} \] Подставим числовые значения: \[ T_1 = \frac{32 \cdot (3,14)^3 \cdot (8,85 \cdot 10^{-12})^2 \cdot (1,05 \cdot 10^{-34})^3}{9,1 \cdot 10^{-31} \cdot (1,6 \cdot 10^{-19})^4} \] \[ T_1 \approx \frac{32 \cdot 30,96 \cdot 78,32 \cdot 10^{-24} \cdot 1,15 \cdot 10^{-102}}{9,1 \cdot 10^{-31} \cdot 6,55 \cdot 10^{-76}} \] \[ T_1 \approx \frac{89315 \cdot 10^{-126}}{59,6 \cdot 10^{-107}} \approx 1,5 \cdot 10^{-16} \text{ с} \] Ответ: \( T_1 \approx 1,5 \cdot 10^{-16} \) с.