Вот решения задач, оформленные так, чтобы их было удобно переписать в тетрадь школьнику.
Контрольная работа №2 «Элементы математической логики»
Вариант 1
1. В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет.
| Запрос |
Найдено страниц (в тысячах) |
| Малина |
2900 |
| Клубника |
1700 |
| Малина | Клубника |
3000 |
Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Малина & Клубника?
Решение:
Обозначим количество страниц по запросу "Малина" как \(N(М)\), по запросу "Клубника" как \(N(К)\).
Из таблицы имеем:
\(N(М) = 2900\)
\(N(К) = 1700\)
\(N(М \lor К) = 3000\) (где \(\lor\) - это логическое ИЛИ, соответствующее символу '|')
Мы знаем формулу для объединения множеств:
\(N(М \lor К) = N(М) + N(К) - N(М \land К)\)
Где \(N(М \land К)\) - это количество страниц по запросу "Малина & Клубника" (где \(\land\) - это логическое И, соответствующее символу '&').
Подставим известные значения в формулу:
\(3000 = 2900 + 1700 - N(М \land К)\)
\(3000 = 4600 - N(М \land К)\)
\(N(М \land К) = 4600 - 3000\)
\(N(М \land К) = 1600\)
Ответ: По запросу Малина & Клубника будет найдено 1600 тысяч страниц.
2. Постройте таблицу истинности для высказывания НЕ (А И В) ИЛИ С.
Решение:
Высказывание: \(\overline{(А \land В)} \lor С\)
| А |
В |
С |
\(А \land В\) |
\(\overline{(А \land В)}\) |
\(\overline{(А \land В)} \lor С\) |
| 0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
| 0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
| 0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
| 0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
| 1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
| 1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
| 1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
| 1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
3. Определите, какие значения принимают выражения, если \(А = 1, В = 0, С = 0\).
Решение:
Дано: \(А = 1, В = 0, С = 0\).
1) \(А \lor В \land С\)
Подставим значения: \(1 \lor 0 \land 0\)
Сначала выполняем операцию \(\land\) (И): \(0 \land 0 = 0\)
Затем выполняем операцию \(\lor\) (ИЛИ): \(1 \lor 0 = 1\)
Значение выражения: 1
2) \(\overline{С} \land А \lor \overline{В}\)
Найдем отрицания: \(\overline{С} = \overline{0} = 1\), \(\overline{В} = \overline{0} = 1\)
Подставим значения: \(1 \land 1 \lor 1\)
Сначала выполняем операцию \(\land\) (И): \(1 \land 1 = 1\)
Затем выполняем операцию \(\lor\) (ИЛИ): \(1 \lor 1 = 1\)
Значение выражения: 1
3) \(А \lor В \lor \overline{С}\)
Найдем отрицание: \(\overline{С} = \overline{0} = 1\)
Подставим значения: \(1 \lor 0 \lor 1\)
Выполняем операции \(\lor\) (ИЛИ) слева направо:
\(1 \lor 0 = 1\)
\(1 \lor 1 = 1\)
Значение выражения: 1
4) \(А \land \overline{С} \lor В\)
Найдем отрицание: \(\overline{С} = \overline{0} = 1\)
Подставим значения: \(1 \land 1 \lor 0\)
Сначала выполняем операцию \(\land\) (И): \(1 \land 1 = 1\)
Затем выполняем операцию \(\lor\) (ИЛИ): \(1 \lor 0 = 1\)
Значение выражения: 1
4. Какое логическое выражение равносильно выражению \((\overline{А} \lor В) \lor \overline{С}\)?
Решение:
Используем законы де Моргана и свойства дизъюнкции.
Исходное выражение: \((\overline{А} \lor В) \lor \overline{С}\)
Поскольку операция \(\lor\) (дизъюнкция) ассоциативна, скобки можно переставить или убрать:
\(\overline{А} \lor В \lor \overline{С}\)
Рассмотрим предложенные варианты:
1) \((А \land \overline{В}) \lor \overline{С}\)
Это выражение не равносильно исходному. Например, если \(А=0, В=0, С=0\):
Исходное: \((\overline{0} \lor 0) \lor \overline{0} = (1 \lor 0) \lor 1 = 1 \lor 1 = 1\)
Вариант 1: \((0 \land \overline{0}) \lor \overline{0} = (0 \land 1) \lor 1 = 0 \lor 1 = 1\)
Попробуем другой случай. Если \(А=1, В=0, С=0\):
Исходное: \((\overline{1} \lor 0) \lor \overline{0} = (0 \lor 0) \lor 1 = 0 \lor 1 = 1\)
Вариант 1: \((1 \land \overline{0}) \lor \overline{0} = (1 \land 1) \lor 1 = 1 \lor 1 = 1\)
Попробуем еще. Если \(А=1, В=1, С=0\):
Исходное: \((\overline{1} \lor 1) \lor \overline{0} = (0 \lor 1) \lor 1 = 1 \lor 1 = 1\)
Вариант 1: \((1 \land \overline{1}) \lor \overline{0} = (1 \land 0) \lor 1 = 0 \lor 1 = 1\)
Попробуем \(А=0, В=1, С=0\):
Исходное: \((\overline{0} \lor 1) \lor \overline{0} = (1 \lor 1) \lor 1 = 1 \lor 1 = 1\)
Вариант 1: \((0 \land \overline{1}) \lor \overline{0} = (0 \land 0) \lor 1 = 0 \lor 1 = 1\)
Кажется, я неправильно понял вопрос. Возможно, это опечатка в вариантах или я неверно интерпретировал.
Давайте перепроверим.
Выражение \((\overline{А} \lor В) \lor \overline{С}\) можно записать как \(\overline{А} \lor В \lor \overline{С}\).
Рассмотрим вариант 1: \((А \land \overline{В}) \lor \overline{С}\).
По закону де Моргана: \(\overline{(\overline{А} \lor В)} = А \land \overline{В}\).
Значит, \(\overline{(\overline{А} \lor В)} \lor \overline{С}\) не равносильно \((А \land \overline{В}) \lor \overline{С}\).
Это выражение не равносильно исходному.
2) \(\overline{А} \lor В \lor \overline{С}\)
Это выражение в точности совпадает с исходным выражением после раскрытия скобок, так как дизъюнкция ассоциативна.
Значит, это выражение равносильно исходному.
3) \(А \lor \overline{В} \land С\)
Это выражение не равносильно исходному.
Ответ: Равносильным выражением является 2) \(\overline{А} \lor В \lor \overline{С}\).
5. Вычислите:
\((1 \lor 0) \land (0 \land А) \lor (1 \lor 0) =\)
Решение:
Выполняем операции в скобках:
\(1 \lor 0 = 1\)
\(0 \land А = 0\) (поскольку \(0 \land А\) всегда равно 0, независимо от значения А)
\(1 \lor 0 = 1\)
Подставим полученные значения обратно в выражение:
\(1 \land 0 \lor 1\)
Сначала выполняем операцию \(\land\) (И):
\(1 \land 0 = 0\)
Затем выполняем операцию \(\lor\) (ИЛИ):
\(0 \lor 1 = 1\)
Ответ: 1
6. Определите истинность высказывания \((X > 2) \lor (X < 5) \land (X > 10)\) при \(X = 12\).
Решение:
Подставим \(X = 12\) в высказывание:
\((12 > 2) \lor (12 < 5) \land (12 > 10)\)
Определим истинность каждого простого высказывания:
\(12 > 2\) - Истина (1)
\(12 < 5\) - Ложь (0)
\(12 > 10\) - Истина (1)
Подставим значения истинности:
\(1 \lor 0 \land 1\)
Сначала выполняем операцию \(\land\) (И):
\(0 \land 1 = 0\)
Затем выполняем операцию \(\lor\) (ИЛИ):
\(1 \lor 0 = 1\)
Ответ: Высказывание истинно.
