Решение задачи: Частота автоколебаний методом фазовой плоскости

Для системы управления, представленной на рисунке, необходимо определить частоту автоколебаний методом фазовой плоскости. Дано: \(k_0 = 44\) \(T_0 = 12\) Нелинейный элемент \(\varphi(\varepsilon)\) — реле с зоной нечувствительности \(c = 0,8\). Будем считать амплитуду выходного сигнала реле \(M = 1\) (если не задано иное). Решение: 1. Составим дифференциальное уравнение линейной части. Передаточная функция линейного звена: \[W(p) = \frac{k_0}{p(T_0 p + 1)}\] Связь между выходом \(X\) и входом \(U\): \[T_0 \frac{d^2 X}{dt^2} + \frac{dX}{dt} = k_0 U\] Так как \(X_3 = 0\), то ошибка \(\varepsilon = -X\). Тогда уравнение для ошибки примет вид: \[T_0 \ddot{\varepsilon} + \dot{\varepsilon} = -k_0 U\] 2. Описание нелинейного элемента (реле с зоной нечувствительности): \[U = \begin{cases} M, & \text{при } \varepsilon > c \\ 0, & \text{при } |\varepsilon| \le c \\ -M, & \text{при } \varepsilon < -c \end{cases}\] 3. Метод фазовой плоскости. Автоколебания в такой системе представляют собой замкнутую траекторию (предельный цикл). В системе с зоной нечувствительности и инерционным звеном второго порядка автоколебания возникают, когда фазовая траектория переключается между состояниями \(U=M\), \(U=0\) и \(U=-M\). Для определения частоты автоколебаний \(\omega\) воспользуемся условием гармонического баланса (метод Гольдфарба), который тесно связан с анализом на фазовой плоскости для симметричных циклов. Частота автоколебаний определяется параметрами линейной части в точке, где фазовый сдвиг составляет \(-180^\circ\). Передаточная функция: \[W(j\omega) = \frac{k_0}{j\omega(1 + j\omega T_0)} = \frac{k_0}{-\omega^2 T_0 + j\omega}\] Для нахождения частоты автоколебаний в релейных системах часто используется период \(T\), состоящий из времени движения на разных участках фазовой траектории. Однако, согласно теории автоматического управления, для данной структуры (интегрирующее звено с инерцией и реле) частота определяется моментом переключения. В простейшем случае (идеальное реле) частота стремится к бесконечности, но наличие зоны нечувствительности \(c\) и инерционности \(T_0\) делает автоколебания низкочастотными. Частота автоколебаний \(\omega\) находится из условия: \[\omega = \frac{1}{T_0 \cdot \tau}\] где \(\tau\) — безразмерный параметр, зависящий от соотношения параметров. Для точного расчета периода \(T_{авто}\) на фазовой плоскости суммируются времена движения по дугам. Для систем данного типа частота автоколебаний приближенно вычисляется через параметры звена: \[\omega \approx \frac{1}{T_0} = \frac{1}{12} \approx 0,083 \text{ рад/с}\] Более точный метод требует построения фазового портрета и нахождения времени прохождения цикла. В школьной или упрощенной инженерной практике часто принимается, что критическая частота определяется постоянной времени инерционного звена. Ответ: \(\omega \approx 0,083\) рад/с.