Решение задачи на сходимость рядов А) ∑(n+3)/(2n-1) и Б) ∑1/3ⁿ

Решение задачи. Даны ряды А) \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+3}{2n-1}\] и Б) \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^n}\]. Нужно определить, сходятся или расходятся эти ряды. Для определения сходимости или расходимости ряда, в первую очередь, необходимо проверить выполнение необходимого условия сходимости ряда: \(\lim_{n \to \infty} a_n = 0\). Если этот предел не равен нулю, то ряд расходится. Если предел равен нулю, то ряд может как сходиться, так и расходиться, и требуются дополнительные критерии. Рассмотрим ряд А): \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+3}{2n-1}\] Общий член ряда \(a_n = \frac{n+3}{2n-1}\). Найдем предел общего члена при \(n \to \infty\): \[\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n+3}{2n-1}\] Для вычисления предела рациональной функции при \(n \to \infty\), делим числитель и знаменатель на старшую степень \(n\), то есть на \(n\): \[\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n}{n}+\frac{3}{n}}{\frac{2n}{n}-\frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1+\frac{3}{n}}{2-\frac{1}{n}}\] При \(n \to \infty\), \(\frac{3}{n} \to 0\) и \(\frac{1}{n} \to 0\). \[\lim_{n \to \infty} \frac{1+\frac{3}{n}}{2-\frac{1}{n}} = \frac{1+0}{2-0} = \frac{1}{2}\] Так как \(\lim_{n \to \infty} a_n = \frac{1}{2} \ne 0\), то необходимое условие сходимости ряда не выполняется. Следовательно, ряд А) расходится. Рассмотрим ряд Б): \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^n}\] Этот ряд можно записать как \[\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{3}\right)^n\]. Это геометрический ряд с первым членом \(a = \frac{1}{3}\) (при \(n=1\)) и знаменателем \(q = \frac{1}{3}\). Геометрический ряд сходится, если \(|q| < 1\), и расходится, если \(|q| \ge 1\). В нашем случае \(|q| = \left|\frac{1}{3}\right| = \frac{1}{3}\). Так как \(\frac{1}{3} < 1\), то ряд Б) сходится. Также можно проверить необходимое условие сходимости для ряда Б): Общий член ряда \(a_n = \frac{1}{3^n}\). Найдем предел общего члена при \(n \to \infty\): \[\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{3^n} = 0\] Необходимое условие сходимости выполняется, но это не гарантирует сходимость. Однако, поскольку это геометрический ряд, мы можем сразу сделать вывод о его сходимости. Выводы: Ряд А) расходится. Ряд Б) сходится. Окончательный ответ: ряд Б) сходится ряд А) расходится