Определение знакопостоянных рядов: решение и примеры

Решение задачи. Нам нужно указать знакопостоянные ряды. Знакопостоянный ряд - это ряд, у которого все члены, начиная с некоторого номера, имеют один и тот же знак (либо все положительные, либо все отрицательные). Рассмотрим каждый ряд по отдельности. 1. Ряд: \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^2 + 8}\] Общий член ряда \(a_n = \frac{n!}{n^2 + 8}\). Для всех \(n \ge 1\), \(n!\) является положительным числом, и \(n^2 + 8\) также является положительным числом. Следовательно, \(a_n > 0\) для всех \(n \ge 1\). Этот ряд является знакопостоянным (все члены положительны). 2. Ряд: \[\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{5n}{n^3 + 4}\] Общий член ряда \(a_n = (-1)^n \frac{5n}{n^3 + 4}\). Множитель \((-1)^n\) меняет знак члена ряда в зависимости от четности \(n\). Если \(n\) нечетное (например, \(n=1, 3, 5, \dots\)), то \((-1)^n = -1\), и член ряда будет отрицательным. Если \(n\) четное (например, \(n=2, 4, 6, \dots\)), то \((-1)^n = 1\), и член ряда будет положительным. Таким образом, знаки членов ряда чередуются (\(-, +, -, +, \dots\)). Этот ряд является знакопеременным, а не знакопостоянным. 3. Ряд: \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(\pi n)}{2}\] Общий член ряда \(a_n = \frac{\sin(\pi n)}{2}\). Вспомним значения \(\sin(\pi n)\) для целых \(n\): \(\sin(\pi \cdot 1) = \sin(\pi) = 0\) \(\sin(\pi \cdot 2) = \sin(2\pi) = 0\) \(\sin(\pi \cdot 3) = \sin(3\pi) = 0\) И так далее, для любого целого \(n\), \(\sin(\pi n) = 0\). Следовательно, все члены этого ряда равны нулю: \(a_n = \frac{0}{2} = 0\). Ряд состоит из одних нулей. Такой ряд можно считать знакопостоянным, так как все его члены имеют один и тот же "знак" (нулевой). Однако, в контексте сходимости рядов, обычно под знакопостоянными рядами подразумевают ряды с ненулевыми членами одного знака. Если строго следовать определению, что все члены имеют один и тот же знак, то нули подходят. Но если подразумевается, что члены должны быть строго положительными или строго отрицательными, то этот ряд не подходит. В большинстве учебников знакопостоянные ряды определяются как ряды, члены которых либо все \(\ge 0\), либо все \(\le 0\). В этом смысле, данный ряд является знакопостоянным. 4. Ряд: \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln(n+1)}{n}\] Общий член ряда \(a_n = \frac{\ln(n+1)}{n}\). Для \(n \ge 1\): \(n+1 \ge 2\), поэтому \(\ln(n+1) \ge \ln(2) > 0\). \(n > 0\). Следовательно, \(a_n = \frac{\ln(n+1)}{n} > 0\) для всех \(n \ge 1\). Этот ряд является знакопостоянным (все члены положительны). Исходя из анализа, ряды 1 и 4 являются знакопостоянными. Ряд 2 является знакопеременным. Ряд 3 состоит из нулей, что формально делает его знакопостоянным (все члены \(\ge 0\) и \(\le 0\)). Однако, если вопрос подразумевает ряды с ненулевыми членами, то его можно исключить. В стандартных задачах на знакопостоянные ряды обычно подразумеваются ряды, все члены которых строго положительны или строго отрицательны. Если же определение включает и нули, то он тоже подходит. В контексте выбора из предложенных вариантов, обычно выбирают те, где члены не равны нулю. Если считать, что знакопостоянный ряд - это ряд, все члены которого либо \(\ge 0\), либо \(\le 0\), то ряды 1, 3, 4 подходят. Если считать, что знакопостоянный ряд - это ряд, все члены которого либо строго \(> 0\), либо строго \(< 0\), то ряды 1, 4 подходят. В большинстве случаев, когда говорят о знакопостоянных рядах, имеют в виду ряды, члены которых не равны нулю и имеют один и тот же знак. Поэтому, наиболее очевидные знакопостоянные ряды здесь - это 1 и 4. Окончательный ответ (предполагая, что члены должны быть ненулевыми): * \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^2 + 8}\] * \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln(n+1)}{n}\] Если же ряд из нулей также считается знакопостоянным, то и \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(\pi n)}{2}\] будет верным ответом. Однако, для ясности и типичности задач, обычно выбирают ряды с ненулевыми членами.