Решение задачи: Определение знакопостоянных рядов

Задача: Указать знакопостоянные ряды. Для того чтобы ряд был знакопостоянным, все его члены должны иметь один и тот же знак (либо все положительные, либо все отрицательные), начиная с некоторого номера. Рассмотрим каждый ряд по отдельности. 1. Ряд: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^2 + 8} \] Члены этого ряда: \( a_n = \frac{n!}{n^2 + 8} \). Для всех \( n \ge 1 \): * \( n! \) всегда положительно. * \( n^2 + 8 \) всегда положительно. Следовательно, дробь \( \frac{n!}{n^2 + 8} \) всегда положительна. Все члены ряда положительны. Вывод: Этот ряд является знакопостоянным. 2. Ряд: \[ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{5n}{n^3 + 4} \] Члены этого ряда: \( a_n = (-1)^n \frac{5n}{n^3 + 4} \). Рассмотрим знаки членов: * При \( n=1 \): \( a_1 = (-1)^1 \frac{5 \cdot 1}{1^3 + 4} = - \frac{5}{5} = -1 \) (отрицательный). * При \( n=2 \): \( a_2 = (-1)^2 \frac{5 \cdot 2}{2^3 + 4} = + \frac{10}{12} \) (положительный). * При \( n=3 \): \( a_3 = (-1)^3 \frac{5 \cdot 3}{3^3 + 4} = - \frac{15}{31} \) (отрицательный). Знаки членов чередуются. Вывод: Этот ряд является знакопеременным, а не знакопостоянным. 3. Ряд: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(\pi n)}{2} \] Члены этого ряда: \( a_n = \frac{\sin(\pi n)}{2} \). Вспомним значения синуса для целых кратных \( \pi \): * \( \sin(\pi) = 0 \) * \( \sin(2\pi) = 0 \) * \( \sin(3\pi) = 0 \) В общем случае, \( \sin(\pi n) = 0 \) для любого целого \( n \). Следовательно, все члены ряда равны нулю: \( a_n = \frac{0}{2} = 0 \). Все члены ряда равны нулю. Ряд из нулей можно считать знакопостоянным, так как все его члены имеют один и тот же "знак" (нулевой). Вывод: Этот ряд является знакопостоянным. 4. Ряд: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln(n+1)}{n} \] Члены этого ряда: \( a_n = \frac{\ln(n+1)}{n} \). Для всех \( n \ge 1 \): * \( n+1 \ge 2 \), поэтому \( \ln(n+1) \) всегда положительно (так как \( \ln x > 0 \) для \( x > 1 \)). * \( n \) всегда положительно. Следовательно, дробь \( \frac{\ln(n+1)}{n} \) всегда положительна. Все члены ряда положительны. Вывод: Этот ряд является знакопостоянным. Окончательный ответ: Знакопостоянными рядами являются: * \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^2 + 8} \] * \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(\pi n)}{2} \] * \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln(n+1)}{n} \]