Решение задачи №4: Определение числа консультантов в ТЦ

Ниже представлено решение задачи №4, оформленное для переписывания в тетрадь. Задача №4. Решение Дано: Общее количество посетителей ТЦ: \(n = 200\). Вероятность того, что посетитель зайдет в конкретный магазин: \(p = 0,5\). Вероятность того, что посетитель не зайдет: \(q = 1 - p = 0,5\). Требуемая надежность обслуживания (доверительная вероятность): \(P = 0,95\). Найти: минимальное количество консультантов \(k\). 1. Случайная величина \(X\) (количество зашедших клиентов) распределена по биномиальному закону. Так как число испытаний \(n\) велико, а \(npq = 200 \cdot 0,5 \cdot 0,5 = 50 > 10\), мы можем использовать интегральную теорему Лапласа для аппроксимации нормальным распределением. 2. Согласно условию, нам нужно найти такое \(k\), чтобы: \[P(0 \le X \le k) \ge 0,95\] Используя формулу Лапласа: \[P(0 \le X \le k) \approx \Phi\left(\frac{k - np}{\sqrt{npq}}\right) - \Phi\left(\frac{0 - np}{\sqrt{npq}}\right) = 0,95\] Где \(\Phi(x)\) — функция Лапласа (нормированная функция распределения). 3. Вычислим параметры: Математическое ожидание: \(a = np = 200 \cdot 0,5 = 100\). Среднеквадратическое отклонение: \(\sigma = \sqrt{npq} = \sqrt{200 \cdot 0,5 \cdot 0,5} = \sqrt{50} \approx 7,07\). 4. Подставим значения в уравнение: \[\Phi\left(\frac{k - 100}{7,07}\right) - \Phi\left(\frac{-100}{7,07}\right) = 0,95\] Так как \(\Phi(-14,14) \approx -0,5\) (для значений \(x < -5\) функция практически равна \(-0,5\)), получаем: \[\Phi\left(\frac{k - 100}{7,07}\right) + 0,5 = 0,95\] \[\Phi\left(\frac{k - 100}{7,07}\right) = 0,45\] 5. По таблице значений функции Лапласа находим аргумент, соответствующий значению 0,45: \[\frac{k - 100}{7,07} \approx 1,645\] 6. Вычисляем \(k\): \[k = 100 + 1,645 \cdot 7,07\] \[k = 100 + 11,63 = 111,63\] Округляем в большую сторону, так как количество людей должно быть целым и обеспечивать заданную вероятность. \[k = 112\] Ответ: Владелец магазина должен нанять минимум 112 консультантов.