Решение: Закон больших чисел (в форме Чебышева)

Задание 1. Закон больших чисел (в форме Чебышёва) Формулировка: Если последовательность независимых случайных величин \( X_1, X_2, ..., X_n, ... \) имеет ограниченные дисперсии (не превышающие некоторого числа \( C \)), то для любого сколь угодно малого положительного числа \( \epsilon \) вероятность того, что отклонение среднего арифметического этих величин от среднего арифметического их математических ожиданий будет по абсолютной величине меньше \( \epsilon \), при неограниченном увеличении \( n \) стремится к единице: \[ \lim_{n \to \infty} P \left( \left| \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i - \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} M(X_i) \right| < \epsilon \right) = 1 \] Условия применимости: 1. Случайные величины должны быть взаимно независимыми. 2. Дисперсии всех величин должны быть ограничены в совокупности, то есть \( D(X_i) \le C \). Задание 2. Математическое ожидание Формулы для расчёта: 1. Для дискретной случайной величины: \[ M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i \] где \( x_i \) — значения величины, \( p_i \) — их вероятности. 2. Для непрерывной случайной величины: \[ M(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) dx \] где \( f(x) \) — плотность распределения вероятностей. Что характеризует: Математическое ожидание характеризует среднее ожидаемое значение случайной величины при большом числе испытаний (центр распределения). Свойства математического ожидания: 1. \( M(C) = C \), где \( C \) — константа. 2. \( M(CX) = C \cdot M(X) \). 3. \( M(X + Y) = M(X) + M(Y) \). 4. \( M(X \cdot Y) = M(X) \cdot M(Y) \) (для независимых величин). Вывод формулы мат. ожидания отклонения: Отклонением называется разность \( X - M(X) \). Найдём его математическое ожидание, используя свойства: \[ M(X - M(X)) = M(X) - M(M(X)) \] Так как \( M(X) \) — это постоянная величина, а мат. ожидание константы равно самой константе: \[ M(X) - M(X) = 0 \] Ответ: Математическое ожидание отклонения случайной величины от её математического ожидания всегда равно нулю.